kadai78

平成３０年７月8日日

[流れ星]

　　　　第361回数学的な応募解答

　　　　＜解答募集期間：6月10日～７月8日＞

［条件付き不等式］

最近購入した本に「競技数学アスリートをめざそう　国際数学オリンピックへの道標」があります。その中にあった問題です。

361zu

チェビシェフの不等式はこのサイトをご覧ください。

参考：問題１は1996年スロベニアからの候補問題

　　　問題２は2000年アメリカからの出題

　　　問題３は1998年ロシアからの候補問題

NO1「二度漬け白菜」 06/16 ??時??分　受信更新 7/8

＜水の流れ：こちらの不手際で、受信時間は不明です。申し訳ありません＞
[問題 1]
(証明)
a^5+b^5
=(a+b)*(a^4-a^3*b+a^2*b^2-a*b^3+b^4)
=(a+b)*(a^2*b^2+(a-b)^2*(a^2+b^2+a*b))
≧(a+b)*a^2*b^2．

よって，
a^5+b^5+a*b≧(a+b)*a^2*b^2+a*b．

よって，
a*b/(a^5+b^5+a*b)
≦a*b/((a+b)*a^2*b^2+a*b)
=a*b*c^2/((a+b)*a^2*b^2*c^2+a*b*c^2)
=c/(a+b+c)．

つまり，
a*b/(a^5+b^5+a*b)≦c/(a+b+c) ---(1)

同様にして，
b*c/(b^5+c^5+b*c)≦a/(a+b+c) ---(2)
c*a/(c^5+a^5+c*a)≦b/(a+b+c) ---(3)
を得る．

(1)，(2)，(3) の辺々を加えて，
a*b/(a^5+b^5+a*b)+b*c/(b^5+c^5+b*c)+c*a/(c^5+a^5+c*a)≦1．
よって，問題文の不等式が証明できた．
等号成立は a=b=c=1 のときのみ．
(終)

[問題 2]
(証明)
正の実数 x，y に対して，
F(x,y)=x-1+1/y
とする．
問題文の不等式は，
F(a,b)*F(b,c)*F(c,a)≦1 ---(★)
である．

次の3つの等式 (1)，(2)，(3)が成り立っていることが
容易に確認できる．

2=(1/a)*F(a,b)+c*F(b,c) ---(1)
2=(1/b)*F(b,c)+a*F(c,a) ---(2)
2=(1/c)*F(c,a)+b*F(a,b) ---(3)

F(a,b)≦0 の場合を考えてみる．
このとき，(1)，(3)より，F(b,c)＞0，F(c,a)＞0
であることがわかる．

よって，F(a,b)≦0 のときには，
F(a,b)*F(b,c)*F(c,a)≦0
となるので，(★)が成り立つ．

同様にして，F(b,c)≦0，F(c,a)≦0 の各々の
場合にも，やはり(★)が成り立つことが示せる．

次に， F(a,b)＞0 かつ F(b,c)＞0 かつ F(c,a)＞0
の場合を考える．

(1)，(2)，(3) の辺々を加えて，さらに (相加平均)≧(相乗平均) を用いると，
6=(1/a)*F(a,b)+c*F(b,c)+(1/b)*F(b,c)+a*F(c,a)+(1/c)*F(c,a)+b*F(a,b)
≧6*((1/a)*F(a,b)*c*F(b,c)*(1/b)*F(b,c)*a*F(c,a)*(1/c)*F(c,a)+b*F(a,b))^(1/6)
=6*(F(a,b)*F(b,c)*F(c,a))^(1/3)．

よって，1≧(F(a,b)*F(b,c)*F(c,a))^(1/3)．
よって，F(a,b)*F(b,c)*F(c,a)≦1．
よってこの場合にも(★)は成り立つ．

以上により，不等式(★)が証明できた．
(★)において等号が成立するのは，
a=b=c=1 のときのみ．
(終)

[問題 3]
(証明)
3個の正項
a^3/((1+b)*(1+c))，(1+b)/8，(1+c)/8，
に対して， (相加平均)≧(相乗平均) を用いると，

a^3/((1+b)*(1+c))+(1+b)/8+(1+c)/8
≧3*((a^3/((1+b)*(1+c))*((1+b)/8)*((1+c)/8))^(1/3)
=(3/4)*a．

よって，
a^3/((1+b)*(1+c))≧(3/4)*a-(b+c)/8-1/4 ---(1)

同様にして，
b^3/((1+c)*(1+a))≧(3/4)*b-(c+a)/8-1/4 ---(2)
c^3/((1+a)*(1+b))≧(3/4)*c-(a+b)/8-1/4 ---(3)
を得る．

(1)，(2)，(3) の辺々を加えて，
a^3/((1+b)*(1+c))+b^3/((1+c)*(1+a))+c^3/((1+a)*(1+b))
≧(1/2)*(a+b+c)-3/4
≧(1/2)*3*(a*b*c)^(1/3)-3/4
=3/4．

つまり，
a^3/((1+b)*(1+c))+b^3/((1+c)*(1+a))+c^3/((1+a)*(1+b))≧3/4．

よって，問題文の不等式が証明できた．
等号成立は a=b=c=1 のときのみである．
(終)

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[問題 1] について：
この問題を一般化した，次の事柄が成り立ちます．

a*b*c=1 をみたすような正の実数 a，b，c と，
任意の正整数 n に対して，次の不等式が成り立つ．

(a^n*b^n)/(a^(2*n+3)+b^(2*n+3)+a^n*b^n)+
(b^n*c^n)/(b^(2*n+3)+c^(2*n+3)+b^n*c^n)+
(c^n*a^n)/(c^(2*n+3)+a^(2*n+3)+c^n*a^n)≦1．

(証明)
Muirhead の不等式により，
a^(2*n+3)+b^(2*n+3)≧a^(n+2)*b^(n+1)+a^(n+1)*b^(n+2)
が成り立つ．
よって，
(a^n*b^n)/(a^(2*n+3)+b^(2*n+3)+a^n*b^n)
≦(a^n*b^n)/(a^(n+2)*b^(n+1)+a^(n+1)*b^(n+2)+a^n*b^n)
=(a^n*b^n)/((a+b)*(a^(n+1)*b^(n+1))+a^n*b^n)
=(a^n*b^n*c^(n+1))/((a+b)*(a^(n+1)*b^(n+1)*c^(n+1))+a^n*b^n*c^(n+1))
=c/(a+b+c)．