平成２６年８月３１日

[流れ星]

　　　　　第309回数学的な応募問題ＮＯ２

　　　　　　＜解答募集期間：７月20日〜８月10日＞

［2組の特別な3整数］

過去の宮崎大学入試問題から出題します。

２組の３整数の組合せ{1，10，11}と{2，7，13}に対して、

3数の和：1＋10＋11＝2＋7＋13　　　3数の平方和：1²＋10²＋11²＝2²＋7²＋13²

が成り立つ。このように、和と平方の和が等しくなる2組の3整数の組合せはたくさんある。次の問に答えよ。

問題１：１から７までの7個の整数の中の相異なる6個の整数を用いて、上の性質が成り立つような2組の3整数を見つけよ。

問題２：どのような連続する7個の整数についても、その中の相異なる6個の整数を用いて、上の性質が成り立つような2組の3整数の組合せを作ることができる。これを示せ。

問題３：上の性質が成り立つような2組の特別な3整数で、何か奥行きめいた考察があれば教えてください。

ＮＯ８　「ぐうてん」　　　　 08/28 15時20分　受信 更新 08/31

問題３

自然数 ，，，，， について，

　…�@，　…�A

（ただし，，， とする）が成り立っているとする．

�@，�Aより，　…�A’ が成り立ち，�Aを�A’に置き換えても上記条件と同値である．そこで，

，

とおくと，，， および ，， はそれぞれ，三次方程式

，

の解である．

ここで，， のグラフは，互いにy軸方向への平行移動により一致する曲線であり，ともに の範囲でx軸と異なる3点で交わることを考慮して図示すると下図のような関係になり， が成り立つことが分かる．

そこで，，，，， （ただしp，q，r，s，tは自然数）とおくと，

と書け，これらを�@に代入すれば，

∴ …�B

これを用いて，

と書き直し．�A式を

と変形してこれらを代入すると，

∴ …�C

以上のように，�B，�Cを満たす自然数p，q，r，s，tを選択し，任意の自然数を与えれば，，，，，は一意に決定し，題意を満たす全ての自然数の組を得ることができる．

例えば， とおき，Pの小さい順に自然数の組を書き出すと，下表のようになる．

この表ではまず，2以上の任意の自然数Pを小さい順に与え，その約数のうち 未満の数からp，tの値を任意に選択する．このとき，p，tは同じ値を重複して選択しても構わない．すると，�Cよりq，s，�Bよりrが求められ，さらに，任意の自然数 を与える（ここでは とした）と，，，，， が決まる．

問題１

表の１行目の組が該当する．

問題２

は任意の自然数をとり得るので，表の１行目の を変えれば，任意の連続した７個の自然数のうちの６個になり，題意が満たされる．

皆さん、問題や質問に答えてください。一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、メールで送ってください。待っています。